Уравнение модели

Ожидаемую доходность актива можно определить не только с помощью уравнения SML, но также на основе так называемых индексных моделей. Их суть состоит в том, что изменение доходности и цены актива зависит от ряда показателей, характеризующих состояние рынка, или индексов.

Простая индексная модель предложена У. Шарпом в середине 60-х годов. Ее часто называют рыночной моделью. В модели Шарпа представлена зависимость между ожидаемой доходностью актива и ожидаемой доходностью рынка. Она предполагается линейной. Уравнение модели имеет следующий вид:

где: E(ri) - ожидаемая доходность актива;

Yi - доходность актива в отсутствии воздействия на него рыночных факторов;

βi - коэффициент бета актива;

Е(rm) - ожидаемая доходность рыночного портфеля;

εi - независимая случайная переменная (ошибка): она показывает специфический риск актива, который нельзя объяснить действием рыночных сил. Значение ее средней равно нулю. Она имеет постоянную дисперсию; ковариацию с доходностью рынка равную нулю; ковариацию с нерыночным компонентом доходности других активов равную нулю.

Уравнение (192) является уравнением регрессии. Если его применить к широко диверсифицированному портфелю, то значения случайных переменных (εi) в силу того, что они изменяются как в положительном, так и отрицательном направлении, гасят друг друга, и величина случайной переменной для портфеля в целом стремится к нулю. Поэтому для широко диверсифицированного портфеля специфическим риском можно пренебречь. Тогда модель Шарпа принимает следующий вид:

портфеля;

βp - бета портфеля;

ур - доходность портфеля в отсутствии воздействия на него рыночных факторов.

Графически модель Шарпа представлена на рис. 66 и 67. Она показывает зависимость между доходностью рынка (rт) и доходностью актива (ri) и представляет собой прямую линию. Ее называют линией характеристики. Независимой переменной выступает доходность рынка. Наклон линии характеристики определяется коэффициентом бета, а пересечение с осью ординат - значением показателя уi.

YI можно определить из формулы (193), взяв средние значения доходности рынка и актива за предыдущие периоды времени. 1

Средняя доходность рынка.

Определить уравнение рыночной модели.

модели имеет вид:

представлено на рис. 66. Точками показаны конкретные значения доходности i-го актива и рынка для различных моментов времени в прошлом.

На рис. 66 и рис. 67 представлен случай, когда бета положительна, и поэтому график рыночной модели направлен вправо вверх, т. е. при увеличении доходности рынка доходность актива будет повышаться, при понижении - падать. При отрицательном значении беты график направлен вправо вниз, что говорит о противоположном движении доходности рынка и актива. Более крутой наклон графика говорит о высоком значении беты и большем риске актива, менее крутой наклон - о меньшем значении беты и меньшем риске (см. рис. 68). При β = 1 доходность актива соответствует доходности рынка, за исключением случайной переменной, характеризующей специфический риск.

Если построить график модели для самого рыночного портфеля относительно рыночного портфеля, то значение у для него равно нулю, а беты +1. Графически данная модель представлена на рис. 67.

15. 3. 2. Коэффициент детерминации

Рыночную модель можно использовать для того, чтобы разделить весь риск актива на дивесифицируемый и недиверсифицируемый, Графически специфический и рыночный риски представлены на рис. 68. Согласно модели Шарпа дисперсия актива равна:

Для вычисления доли дисперсии актива, которая определяется рынком, используют коэффициент детерминации (R2). Он представляет собой отношение объясняемой рынком дисперсии актива к его общей дисперсии.

Подставив данное значение в формулу (196), получим результат, который говорит о том, что коэффициент детерминации - это квадрат коэффициента корреляции.

R2 = (Corri,m)2 (197)

R2 = (Corri,m)2 (197)

В последнем примере R-квадрат равен 0, 1699. Это означает, что изменение доходности рассматриваемого актива можно на 16, 99% объяснить изменением доходности рынка, а на 83, 01% - другими факторами. Чем ближе значение R-квадрат к единице, тем в большей степени движение рынка определяет изменение доходности актива. Обычное значение R-квадрат в западной экономике составляет порядка 0, 3, т. е. 30% изменения его доходности определяется рынком. R-квадрат для широко диверсифицированного портфеля может составлять 0, 9 и большую величину.

Модель Шарпа рассматривает взаимосвязь доходности каждой ценной бумаги с доходностью рынка в целом.

Основные допущения модели Шарпа:

В качестве доходности ценной бумаги принимается математическое ожидание доходности;

Существует некая безрисковая ставка доходности , т. е. доходность некой ценной бумаги, риск которой всегда минимален по сравнению с другими ценными бумагами;

Взаимосвязь отклонений доходности ценной бумаги от безрисковой ставки доходности (далее:отклонение доходности ценной бумаги ) с отклонениями доходности рынка в целом от безрисковой ставки доходности (далее: отклонение доходности рынка ) описывается функцией линейной регрессии ;

Под риском ценной бумаги понимается степень зависимости изменений доходности ценной бумаги от изменений доходности рынка в целом;

Считается, что данные прошлых периодов, используемые при расчете доходности и риска, отражают в полной мере будущие значения доходности.

По модели Шарпа отклонения доходности ценной бумаги связываются с отклонениями доходности рынка функцией линейной регрессии вида:

где - отклонение доходности ценной бумаги от безрисковой;

Отклонение доходности рынка от безрисковой;

Коэффициенты регрессии.

Основной недостаток модели - необходимость прогнозировать доходность фондового рынка и безрисковую ставку доходности. Модель не учитывает колебаний безрисковой доходности. Кроме того, при значительном изменении соотношения между безрисковой доходностью и доходностью фондового рынка модель дает искажения. Таким образом, модель Шарпа применима при рассмотрении большого количества ценных бумаг, описывающих бо льшую часть относительно стабильного фондового рынка.

41.Рыночная премия за риск и коэффициент бета.

Рыночная премия за риск - разница между ожидаемой доходностью рыночного портфеля и безрисковой ставкой.

Бета-коэффициент (бета-фактор) - показатель, рассчитываемый для ценной бумаги или портфеля ценных бумаг. Является мерой рыночного риска , отражая изменчивость доходности ценной бумаги (портфеля) по отношению к доходности портфеля (рынка ) в среднем (среднерыночного портфеля). В случае компаний, не имеющих торгуемых на рынке акций, можно расчитать бета-коэффициент, основанный на сравнении с показателями компаний-аналогов. Аналоги берут из той же отрасли, бизнес которых максимально похож на бизнес непубличной компании. При расчёте необходимо сделать ряд поправок, в частности, на разницу в структуре капитала сравниваемых компаний (соотношения долга и акционерного капитала).

Коэффициента Бета для актива в составе портфеля ценных бумаг, или актива (портфеля) относительно рынка является отношением ковариации рассматриваемых величин кдисперсии эталонного портфеля или рынка соответственно :

где - оцениваемая величина, для которой вычисляется коэффициент Бета: доходность оцениваемого актива или портфеля, - эталонная величина, с которой происходит сравнение: доходность портфеля ценных бумаг или рынка, - ковариация оцениваемой и эталонной величины, - дисперсия эталонной величины.

Бета-коэффициент – это единица измерения, которая дает количественное соотношение между движением курса данной акции и движением рынка акций в целом. Нельзя путать с изменчивостью.

Бета-коэффициент (англ. beta coefficient) – это показатель степени риска применительно к инвестиционному портфелю или к конкретным ценным бумагам; отражает степень устойчивости курса данных акций по сравнению с остальным фондовым рынком; устанавливает количественное соотношение между колебаниями цены данной акции и динамикой цен рынка в целом. Если этот коэффициент больше 1, значит, акция неустойчива; при бета-коэффициенте меньше 1 – более устойчива; именно поэтому консервативные инвесторы в первую очередь интересуются этим коэффициентом и предпочитают акции с низким его уровнем.

В 1963 г. американский экономист У. Шарп (William Sharpe ) предложил новый метод построения границы эффективных портфелей, позволяющий существенно сократить объемы необходимых вычислений. В дальнейшем этот метод модифицировался, и в настоящее время известен как одноиндексная модель Шарпа (Sharpe single-index model) .

В основе модели Шарпа лежит метод линейного регрессионного анализа, позволяющий связать две случайные переменные величины – независимую Х и зависимую Y – линейным выражением типа Y = α + β Х. В модели Шарпа независимой считается величина какого-то рыночного индекса. Таковыми могут быть, например, темпы роста валового внутреннего продукта, уровень инфляции, индекс цен потребительских товаров и т.п. Шарп в качестве независимой переменной рассматривал доходность r m , вычисленную на основе индекса Standart and Poor’s (S&P500). В качестве зависимой переменной берется доходность r i какой-то i -й ценной бумаги. Поскольку зачастую индекс S&P500 рассматривается как индекс, характеризующий рынок ценных бумаг в целом, то обычно модель Шарпа называют рыночной моделью (Market Model), а доходность r m – доходностью рыночногопортфеля.

Модель Шарпа рассматривает взаимосвязь доходности каждой ценной бумаги с доходностью рынка в целом. Основные допущения модели Шарпа:

– в качестве доходности ценной бумаги принимается математическое ожидание доходности;

– существует некая безрисковая ставка доходности R f , то есть доходность некой ценной бумаги, риск которой всегда минимален по сравнению с другими ценными бумагами;

– взаимосвязь отклонений доходности ценной бумаги от безрисковой ставки доходности (далее отклонение доходности ценной бумаги) с отклонениями доходности рынка в целом от безрисковой ставки доходности (далее отклонение доходности рынка) описывается функцией линейной регрессии ;

– под риском ценной бумаги понимается степень зависимости изменений доходности ценной бумаги от изменений доходности рынка в целом;

– считается, что данные прошлых периодов, используемые при расчете доходности и риска, отражают в полной мере будущие значения доходности.

По модели Шарпа отклонения доходности ценной бумаги связываются с отклонениями доходности рынка функцией линейной регрессии вида

где (r i – R f ) – отклонение доходности ценной бумаги от безрисковой; (R m – R f ) – отклонение доходности рынка от безрисковой; α, β – коэффициенты регрессии.

Исходя из этой формулы можно по прогнозируемой доходности рынка ценных бумаг в целом рассчитать доходность любой ценной бумаги, его составляющей :

где α i , β i – коэффициенты регрессии, характеризующие данную ценную бумагу.

Теоретически если рынок ценных бумаг находится в равновесии, то коэффициент α i будет равен нулю. Но так как на практике рынок всегда разбалансирован, то α i показывает избыточную доходность данной ценной бумаги (положительную или отрицательную), т.е. насколько данная ценная бумага переоценивается или недооценивается инвесторами.

Коэффициент β называют β -риском, так как он характеризует степень зависимости отклонений доходности ценной бумаги от отклонений доходности рынка в целом.

Основное преимущество модели Шарпа – математически обоснована взаимозависимость доходности и риска: чем больше β – риск, тем выше доходность ценной бумаги .

Кроме того, модель Шарпа имеет особенность: существует опасность, что оцениваемое отклонение доходности ценной бумаги не будет принадлежать построенной линии регрессии. Этот риск называют остаточным риском . Остаточный риск характеризует степень разброса значений отклонений доходности ценной бумаги относительно линии регрессии. Остаточный риск определяют как среднее квадратическое отклонение эмпирических точек доходности ценной бумаги от линии регрессии . Остаточный риск i -й ценной бумаги обозначают σ ri . Показатель риска вложения средств в данную ценную бумагу определяется β -риском и остаточным риском.

В соответствии с моделью Шарпа доходность портфеля ценных бумаг – это среднее взвешенное значение показателей доходности ценных бумаг, его составляющих, с учетом β -риска. Доходность портфеля определяется по формуле

, (29)

где R f – безрисковая доходность; R m – ожидаемая доходность рынка в целом.

Риск портфеля ценных бумаг определяется с помощью оценки среднего квадратичного отклонения функции R f и определяется по формуле

, (30)

где σ m – среднее квадратическое отклонение доходности рынка в целом, то есть показатель риска рынка в целом; β i , σ ri – β -риск и остаточный риск i -й ценной бумаги.

При практическом применении модели Шарпа для оптимизации фондового портфеля используются следующие допущения:

– в качестве безрисковой ставки доходности принимают доходность государственных ценных бумаг, например облигаций внутреннего государственного займа;

– в качестве доходности рынка ценных бумаг в целом в период t используются экспертные оценки рыночной доходности от аналитических компаний, из средств массовой информации и т. п. В условиях развитого фондового рынка для этих целей принято использовать какие-либо фондовые индексы .

Основной недостаток модели – необходимость прогнозировать доходность фондового рынка и безрисковую ставку доходности. Модель не учитывает колебаний безрисковой доходности. Кроме того, при значительном изменении соотношения между безрисковой доходностью и доходностью фондового рынка модель дает искажения. Таким образом, модель Шарпа применима при рассмотрении значительного количества ценных бумаг, описывающих бо льшую часть относительно стабильного фондового рынка.

Вопросы

Дайте определение портфеля ценных бумаг.

2. Назовите методы формирования портфеля ценных бумаг

3. Какие риски инвестирования в ценные бумаги Вы знаете?

4. Как рассчитывается ожидаемая доходность портфеля?

5. Объясните механизм построения мультииндексной модели «доходность-риск» Г. Марковица.

6. Каким образом определяется множество эффективных портфелей на основе модели единичного индекса?

Заключение

Формирование и развитие финансового рынка России осуществляется в сложных условиях и сталкивается с множеством проблем объективного и субъективного характера. Рынок, который начинал свое функционирование «с чистого листа», в отсутствии знаний, практических навыков, деловых традиций и обычаев, вынужден был приспосабливаться к развитому механизму финансового посредничества, функционирующему как в национальных, так и в международных рамках. Глобализация финансовых рынков, являющаяся одной из ключевых тенденций конца ХХ-го века, означает необходимость для России соответствовать принятым в мире стандартам и «правилам игры».

На фондовом рынке с помощью финансовых посредников происходит перераспределение денежных средств от инвесторов к эмитентам на основе ценных бумаг. В зависимости от видов финансовых институтов, которые выполняют функции финансовых посредников, выделяют банковскую, небанковскую и смешанную модель рынка ценных бумаг. В России формируется смешанная модель.

Регулирование рынка ценных бумаг преследует ряд целей, основной из которых является создание нормальных условий для функционирования самого рынка и всех его добросовестных участников. Базовым принципом функционирования рынка ценных бумаг является доверие инвесторов к рынку, которое обеспечивается поддержанием честности и открытости со стороны участников рынка, недопущением ущемления прав инвесторов и участников рынка. В обеспечении доверия инвесторов к рынку ценных бумаг заинтересованы государство, эмитенты и профессиональные участники рынка. Обеспечение доверия инвесторов к рынку осуществляется посредством законодательных и этических норм.

Изучение развития финансового рынка как механизма привлечения финансовых ресурсов в сферу реального производства, особенно в наиболее перспективные с точки зрения эффективности и рентабельности секторы экономики, поможет молодым специалистам принимать квалифицированные решения при размещении свободных активов.

Рынок ценных бумаг живет ожиданиями развития макроэкономических тенденций, политических событий, ожиданиями, связанными с результатами деятельности отдельных компаний, с действиями конкретных персонажей политико-экономической системы.

Изучение механизмов обращения ценных бумаг во всем их многообразии позволит не только прогнозировать динамические процессы рынка, но и оценивать перспективы и тенденции отдельных отраслей и экономики в целом.

Продолжаем тему анализа рынков и портфельного менеджмента. На сей раз рассмотрим тему индексной модели известнейшего американского экономиста Уильяма Шарпа (за что тот, кстати, получил нобелевскую премию по экономике в 1990 году). На сегодняшний день крупнейшие инвестиционные дома и фонды мира, а также международные банки используют именно эту модель для расчета рисков вложений в те или иные активы. Сразу хочется отметить, что теоретическая часть этой модели довольно сложная для освоения, поэтому если будут вопросы, можете задать под статьей либо в рубрике «задай вопрос аналитику».

Суть ее заключается в том, чтобы уже имеющиеся методы построения портфелей максимально упростить для снижения трудоемкости процесса (порой для построения портфеля ценных бумаг линейными методами не хватало даже целого штата профессиональных управляющих и финансовых аналитиков). В частности, данная модель использует регрессионный анализ рынка – то есть анализ исторических данных котировок. Понятно, что при ручном регрессионном анализе каждого актива из общей выборки, которая может достигать до нескольких тысяч, потребуется очень значительное время даже при большом штате компетентных сотрудников, поэтому еще в 60-е годы Шарп предложил использовать индексный метод регрессионного анализа для облегчения этого процесса. Сама формула расчета коэффициента Шарпа довольно простая:

S=(R a -R f)/s a , где

R a – доходность непосредственного актива;

R f – доходность безрисковой инвестиции;

s a – стандартное отклонение актива.

В частности, введено понятие бета-коэффициента, о котором было уже немало рассказано во многих статьях. Формула расчета бета всем хорошо известна: b= Cov am /s 2 m , где Cov am – ковариация дохоности актива с рынком, а s 2 m – дисперсия доходности рынка. Данный показатель указывает на степень риска вложений в тот или иной . Долго расписывать тут про это понятие нет смысла, так как цель данной статьи состоит в другом, а более подробно о расчете бета-коэффициента вы можете прочитать в других статьях на моем блоге. Суть модели Шарпа состоит в том, чтобы использовать в качестве бенчмарка уже рассчитанный индекс, исходя из которого и проводился бы расчет риска. Общая же зависимость ценной бумаги от индекса записывается в виде формулы:

r ia =a am +b am r im +e am , где

a am – коэффициент смещения (альфа-коэффициент);

b am – коэффициент наклона (бета-коэффициент);

e am – случайная погрешность;

r ia – доходность актива за i период;

r im – доходность рынка за аналогичный период.

Согласно теории Шарпа, бета-коэффициент указывает на зависимость актива от динамики рынка, а в свою очередь альфа-коэффициент – это доходность актива вне зависимости от конъюнктуры рыночного индекса. В случае с бета предполагается, что этот коэффициент статичен от периода к периоду, и поэтому для его расчета достаточно применения метода обычной линейной регрессии. Альфа-коэффициент, в свою очередь, указывает на переоцененность (в случае положительного альфа) или напротив – недооцененность того или иного актива относительно рынка (в случае отрицательного альфа).

Теперь же постараемся обобщить материал непосредственно по модели Уильяма Шарпа. Итак, цель данной модели – упростить линейные методы построения инвестиционных портфелей и регрессионного анализа за счет использования индексов (то есть доходности бенчмарка – фондового индекса либо индивидуально построенного рыночного индекса). Для этого проводится регрессионный анализ – то есть анализируются исторические данные котировок конкретного актива и рынка. При этом ставится задача выявить зависимость изменения цены актива от динамики бенчмарка и исходя из этого рассчитать в конечном итоге коэффициент риска, который станет индикатором актуальности инвестирования в актив. Вот собственно и все. В одном из последующих статей будет выложен конкретный пример расчета коэффициента Шарпа и его использования непосредственно при построении портфеля.

Будьте в курсе всех важных событий United Traders - подписывайтесь на наш

Модель Шарпа в отличие от модели Марковица требует меньше информации и вычислений. Шарп пришел к выводу, что доходность каждой отдельной акции строго коррелирует с общей доходностью рынка, поэтому нет необходимости определять ковариацию каждой акции друг с другом, достаточно определить, как они взаимодействуют с рынком.

В основе модели Шарпа лежит метод линейного регрессионного анализа, позволяющий связать две случайные переменные величины - независимую (Х) и зависимую (У) линейным выражением У = α + β·Х. В модели Шарпа независимой считается ожидаемая доходность на фондовом рынке в целом (доходность рыночного портфеля) Rm, вычисленная на основе индекса компании Standart and Poor’s. В качестве зависимой переменной берется доходность Ri какой-нибудь ценной бумаги. Пусть доходность Rm принимает случайные значения Rm1; Rm2…. Rmn, а доходность i-той ценной бумаги значения Ri1; Ri2…. Rin. Тогда линейная регрессионная модель, представляющая взаимосвязь между доходностью рынка и доходностью по конкретной ценной бумаге будет иметь вид:

Ri = αi + βi Rm + εi,

где Ri – доходность i-той ценной бумаги в определенный момент времени (например, 25 июня 2003 года);

αi - это параметр, показывающий какая часть доходности i-той ценной бумаги не связана с изменениями доходности рынка ценных бумаг Rm;

βi – коэффициент, показывающий чувствительность доходности i-той ценной бумаги к изменениям рыночной доходности;

Rm – доходность рыночного портфеля в данный момент времени;

εi - случайная ошибка, связанная с тем, что действительные значения Ri и Rm иногда отклоняются от линейной зависимости. Для упрощения расчетов ее можно принять равной 0.

βi - коэффициент «бета» - измеритель риска вложений, реакция (чувствительность) ожидаемого дохода по ценной бумаге на изменение внешних факторов;

βi = σi , βi = ρi,m · σi ,

где σi - среднеквадратичное отклонение доходности i-той ценной бумаги;

σm - среднеквадратичное отклонение доходности по рынку в целом;

ρim – коэффициент корреляции доходности i-той ценной бумаги и по рынку в целом.

Предполагая, что инвестор формирует портфель из n ценных бумаг, Шарп вводит следующие предварительные условия:

Среднеарифметическая величина случайных ошибок Еε для всех ценных бумаг портфеля равна 0;

Дисперсия случайных ошибок σε² для каждой ценной бумаги постоянна.

Для каждой ценной бумаги отсутствует корреляция между наблюдаемыми в течение T лет величинами случайных ошибок;

Отсутствует корреляция между случайными ошибками εi и рыночной доходностью;

Отсутствует корреляция между случайными ошибками любых двух ценных бумаг в портфеле.

На основе этих упрощений Шарп, для любых ценных бумаг в портфеле, получает следующие выражения:

Еi = αi + βi Em ,

σi² = βi² · σm² + σεi² ,

σij = βi² βj² · σm² ,

где Еi - ожидаемая среднеарифметическая доходность ценных бумаг i;

Еm - ожидаемая среднеарифметическая доходность рыночного портфеля;

σi² - дисперсия i-той ценной бумаги;

σm² - дисперсия рыночного портфеля;

σεi² - дисперсия случайной ошибки;

σij (covij) - ковариация между величинами доходности ценной бумаги i и ценной бумаги j;

βi и βj – чувствительность доходности i-той и j-той ценной бумаги к изменению рыночной доходности.

Таким образом, для построения границы эффективных портфелей есть все необходимые элементы: Еi; σi²; σij.

Ожидаемая доходность портфеля , состоящего из n ценных бумаг, вычисляется по формуле:

Еп= ∑ Хi Еi

Дисперсия портфеля в модели Шарпапредставляется в виде:

σn² = ∑ Хi² σεi² ,

σεi² = ∑ (Rit - (αi + βi Rmt)) ² / (n-2)

Вопросы для самопроверки

1. Что такое портфель ценных бумаг?

2. Дайте характеристику различным типам инвестиционных портфелей.

3. Дайте характеристику агрессивному, консервативному и умеренно-агрессивному инвестору.

4. Что понимается под активным и пассивным управлением инвестиционным портфелем?

5. Что такое диверсификация инвестиционного портфеля?

6. Как определить доходность и риск инвестиционного портфеля?

7. Что означает положительная и отрицательная ковариация между величинами доходности по ценным бумагам?

8. Что характеризует коэффициент корреляции?

9. Что такое эффективная граница Марковица?

10. Как рассчитывается доходность ценных бумаг компании и β – коэффициент в модели Шарпа?