Электрически заряженная частица - это частица, которая обладает положительным или отрицательным зарядом. Это могут быть как атомы, молекулы, так и элементарные частицы. Когда электрически заряженная частица находится в электрическом поле, на нее действует сила Кулона. Значение этой силы, если известно значение в конкретной точке, вычисляется по следующей формуле: F = qE.

мы определили, что электрически заряженная частица, которая находится в электрическом поле, движется под воздействием кулоновской силы.

Теперь рассмотрим Экспериментально было обнаружено, что магнитное поле воздействует на движение заряженных частиц. равна максимальной силе, которая воздействует на скорость движения такой частицы со стороны магнитного поля. Заряженная частица движется с единичной скоростью. Если электрически заряженная частица влетит в магнитное поле с заданной скоростью, то сила, которая действует со стороны поля, будет перпендикулярна скорости частицы и соответственно вектору магнитной индукции: F = q. Поскольку сила, которая действует на частицу, перпендикулярна скорости движения, то и ускорение, задаваемое этой силой также перпендикулярно движению, является нормальным ускорением. Соответственно, прямолинейная будет искривляться при попадании заряженной частицы в магнитное поле. Если частица влетает параллельно линиям магнитной индукции, то не действует на заряженную частицу. Если она влетает перпендикулярно линиям магнитной индукции, то сила, которая действует на частицу, будет максимальной.

Теперь запишем II qvB = mv 2 /R, или R = mv/qB, где m - это масса заряженной частицы, а R - это радиус траектории. Из этого уравнения следует, что частица двигается в однородном поле по окружности радиуса. Так, период обращения заряженной частицы по окружности не зависит от скорости движения. Необходимо отметить, что у электрически заряженной частицы, попавшей в магнитное поле, кинетическая энергия неизменна. Вследствие того что сила перпендикулярна движению частицы в любой из точек траектории, поля, которая действует на частицу, не совершает работу, связанную с перемещением движения заряженной частицы.

Направление силы, воздействующей на движение заряженной частицы в магнитном поле, можно определить при помощи «правила левой руки». Для этого необходимо расположить левую ладонь таким образом, чтобы четыре пальца указывали направление скорости движения заряженной частицы, ну а линии магнитной индукции были направлены в центр ладони, в таком случае отогнутый под углом в 90 градусов большой палец будет показывать направление силы, которая действует на положительно заряженную частицу. В том случае, если частица имеет отрицательный заряд, то направление силы будет противоположным.

Если же электрически заряженная частица попадет в область совместного воздействия магнитного и электрического полей, то на нее будет действовать сила, называемая силой Лоренца: F = qE + q. Первое слагаемое при этом относиться к электрическому компоненту, а второе - к магнитному.

14.1 Заряженная частица в электростатическом поле.

Уравнение движения частицы в электростатическом поле имеет вид

\(~m \vec a = q \vec E(x,y,z)\) . (1)

Так как электростатическое поле является потенциальным, то для движущейся частицы выполняется закон сохранения энергии, на основании которого можно записать в виде уравнения

\(~\frac{m \upsilon^2}{2} + q \varphi(x,y,z) = \operatorname{const}\) . (2)

где ϕ (x , y , z ) - потенциал электростатического поля.

Это же уравнение часто формулируется в иной форме: изменение кинетической энергии частицы равно работе сил электростатического поля. Работа сил поля не зависит от формы траектории частицы (Рис.83) и равна произведению заряда частицы на разность потенциалов между начальной и конечной точкой траектории

\(~\frac{m \upsilon^2_2}{2} - \frac{m \upsilon^2_1}{2} = q(\varphi_1 - \varphi_2)\) . (3)

Обратите внимание на расстановку индексов в этом уравнении: увеличение кинетической энергии частицы равно уменьшению ее потенциальной энергии!

14.1.1 Движение заряженной частицы в однородном электростатическом поле.

В однородном электрическом поле, сила, действующая на заряженную частицу, постоянна как по величине, так и по направлению. Поэтому движение такой частицы полностью аналогично движению тела в поле тяжести земли без учета сопротивления воздуха. Траектория частицы в этом случае является плоской, лежит в плоскости, содержащей векторы начальной скорости частицы и напряженности электрического поля (Рис. 84). Поэтому для описания положения частицы достаточно двух координат. Удобно одну из декартовых осей координат направить вдоль направления вектора напряженности поля (тогда движение вдоль этой оси будет равноускоренным), а второй перпендикулярно вектору напряженности (движение вдоль этой оси – равномерное). Начало отсчета удобно совместить с начальным положением частицы.

Простейший пример: частица массы m , несущая электрический заряд q движется в однородном электрическом поле напряженности \(~\vec E\), в начальный момент ее скорость равна \(~\vec \upsilon_0\). Выберем ось Oy в сторону противоположную направлению вектора \(~\vec E\), начало отсчета совместим с начальным положением частицы (Рис. 85). Частица будет двигаться с постоянным ускорением \(~g* = \frac{qE}{m}\), направленным «вертикально вниз», поэтому дальнейшее описание движения, со всеми его особенностями можно переписать с решения задачи о движении тела в поле тяжести без учета сопротивления воздуха.

Опишем принцип работы электростатического отклоняющего устройства , используемого в ряде приборов (например, в некоторых типах осциллографов) для изменения направления движения потока электронов. Пучок электронов, имеющих скорость \(~\vec \upsilon_0\), влетает в пространство между двумя параллельными пластинами длиной h , между которыми создано постоянное электрическое поле напряженности \(~\vec E\). На расстоянии l от пластин расположен экран, на который попадает этот пучок электронов (Рис. 86). Найдем зависимость отклонения пучка от напряженности приложенного поля.

Введем декартовую систему координат, как показано на рис. 86. При движении электронов между пластинами на них действует постоянная сила \(F = eE\) (e - заряд электрона, m - его масса), которая сообщает ему ускорение \(~a = \frac{e}{m}E\), направленное вдоль оси Oz . Будем считать, что длина пластин такова, что электроны на нее не попадают, кроме того, пренебрежем краевыми эффектами, то есть будем считать, что поле между пластинами однородное, а вне пластин отсутствует. Так как проекция электрической силы на ось Ox равна нулю, то проекция скорости на эту ось не изменяется и остается равной υ 0 . За время пролета между пластинами \(~t_1 = \frac{h}{\upsilon_0}\) электрон приобретет компоненту скорости, направленную вдоль оси Oy \(~\upsilon_y = a t_1 = \frac{eE}{m} \frac{h}{\upsilon_0}\) и сместится на расстояние \(~\delta_1 = \frac{1}{2} a t^2_1 = \frac{eE}{2m} \left (\frac{h}{\upsilon_0} \right)^2\) . После вылета из области поля электрон будет двигаться равномерно, поэтому за время движения до экрана \(~t_2 = \frac{l}{\upsilon_0}\) дополнительно сместится вдоль вертикальной оси на расстояние \(~\delta_2 = \upsilon_y t_2 = \frac{eE}{m} \frac{h}{\upsilon_0} \frac{l}{\upsilon_0} = \frac{eE}{m} \frac{hl}{\upsilon^2_0}\). Суммарное вертикальное смещение потока будет равно

\(~\Delta z = \delta_1 + \delta_2 = \frac{eEh}{m \upsilon^2_0} \left (\frac{h}{2} + l \right)\) .

Из этой формулы следует, что смещение пропорционально напряженности поля, следовательно, и разности потенциалов между отклоняющими пластинами. Таким образом, изменяя напряжение между пластинами, можно изменять положение пучка электронов на экране.

14.1.2 Электронно-лучевая трубка с электростатическим отклонением.

Электронно-лучевые трубки используются для получения изображения на экране. Принципиальная схема такой трубки показана на рис. 87.

Узкий пучок электронов, формируемых электронной пушкой 1 , ускоряется под действием электрического поля, созданного между пушкой и экраном 4 . На своем пути пучок электронов проходит через две пары отклоняющий пластин 2 , 3 . К пластинам прикладывается переменное напряжение, которое создает электрические поля между пластинами, отклоняющее электроны в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Экран покрыт специальным слоем, который дает кратковременные вспышки света , при попадании на него движущихся электронов. Все устройство находится в стеклянной колбе, из которой откачан воздух. Конечно, реально действующий прибор гораздо сложнее, описанной здесь принципиальной схемы.

Изучаемый сигнал подается только на одну пару отклоняющих пластин, отклонение луча в перпендикулярном направлении необходимо, чтобы «развернуть» сигнал на экране, поэтому напряжение, подаваемое на горизонтально направляющие пластины, называется разверткой. Пусть на горизонтально отклоняющие пластины 2 подается напряжение, линейно возрастающее со временем \(U_x = bt\), а на вертикально отклоняющие пластины 3 подается напряжение, зависимость от времени которого U (t ) изучается. Так как отклонения луча на экране вдоль соответствующих направлений пропорциональны напряжениям, приложенным к отклоняющим пластинам, то его закон движения на экране описывается уравнениями

\(~\left\{\begin{matrix} x = K_x U_x = K_x bt \\ y = K_y U_y = K_y U(t) \end{matrix}\right.\) . (1)

Уравнение траектории луча на экране можно получить в явном виде, избавившись от времени с помощью первого уравнения:

\(~t = \frac{1}{K_x b} x ; y = K_y U \left(\frac{1}{K_x b} x \right)\) . (2)

Таким образом, траектория луча на экране совпадает с графиком функции U (t ), что позволяет ее визуально наблюдать. С другими, наиболее часто применяемыми способами развертки мы познакомимся позднее, при изучении теории колебательных процессов.

Пусть частица массой m и с зарядом e влетает со скоростью v в электрическое поле плоского конденсатора. Длина конденсатора x, напряженность поля равна Е. Смещаясь в электрическом поле вверх, электрон пролетит через конденсатор по криволинейной траектории и вылетит из него, отклонившись от первоначального направления на y. Под действием силы поля, F=eE=ma частица движется ускоренно по вертикали, поэтому

Время движения частицы вдоль оси ох с постоянной скоростью . Тогда . А это есть уравнение параболы. Т.о. заряженная частица движется в электрическом поле по параболе.

3. Частица в магнитном поле Рассмотрим движение заряженной частицы в магнитном поле напряженностью Н. Силовые линии поля изображены точками и направлены перпендикулярно к плоскости рисунка (к нам).

Движущаяся заряженная частица представляет собой электрический ток. Поэтому магнитное поле отклоняет частицу вверх от ее первоначального направления движения (направление движения электрона противоположно направлению тока)

Согласно формуле Ампера сила, отклоняющая частицу на любом участке траектории равна

Ток , где t-время, за которое заряд e проходит по участку l. Поэтому

Учитывая, что , получим

Сила F называется лоренцевой силой. Направления F, v и H взаимно перпендикулярны. Направление F можно определить по правилу левой руки.

Будучи перпендикулярна скорости , лоренцева сила изменяет только направление скорости движения частицы, не изменяя величины этой скорости. Отсюда следует, что:

1. Работа силы Лоренца равна нулю, т.е. постоянное магнитное поле не совершает работы над движущейся в нем заряженной частицей (не изменяет кинетической энергии частицы)

Напомним, что в отличие от магнитного поля электрическое поле изменяет энергию и величину скорости движущейся частицы.

2. Траектория частицы является окружностью, на которой частицу удерживает лоренцева сила, играющая роль центростремительной силы.

Радиус r этой окружности определим, приравнивая между собой лоренцеву и центростремительную силы:

Т.о. радиус окружности, по которой движется частица, пропорционален скорости частицы и обратно пропорционален напряженности магнитного поля.

Период обращения частицы T равен отношению длины окружности S к скорости частицы v:6

Учитывая выражение для r, получим Следовательно, период обращения частицы в магнитном поле не зависит от ее скорости.

Если в пространстве, где движется заряженная частица, создать магнитное поле, направленное под углом к ее скорости , то дальнейшее движение частицы представит собой геометрическую сумму двух одновременных движений: вращения по окружности со скоростью в плоскости, перпендикулярной силовым линиям, и перемещения вдоль поля со скоростью . Очевидно, что результирующая траектория частицы окажется винтовой линией

4. Электромагнитные счетчики скорости крови

Принцип действия электромагнитного счетчика основан на движении электрических зарядов в магнитном поле. В крови имеется значительное количество электрических зарядов в виде ионов.

Предположим, что некоторое количество однозарядных ионов движется внутри артерии со скоростью . Если артерию поместить между полюсами магнита, ионы будут двигаться в магнитном поле.

Для направлений и B, показанных на рис.1., магнитная сила действующая на положительно заряженные ионы направлена вверх, а сила , действующая на отрицательно заряженные ионы, направлена вниз. Под влиянием этих сил ионы движутся к противоположным стенкам артерии. Эта поляризация артериальных ионов создает поле E(рис.2), эквивалентное однородному полю плоского конденсатора. Тогда разность потенциалов в артерии U(диаметр которой d) связан с Е формулой

Движение заряженных частиц

Для движущейся частицы поле считается поперечным, если вектор ее скорости перпендикулярен линиям вектора напряженности электрического поля. Рассмотрим движение положительного заряда , влетевшего в электрическое поле плоского конденсатора с начальной скоростью (рис. 77.1).

Если бы электрическое поле отсутствовало (), то заряд попал бы в точку О экрана (действием силы тяжести пренебрегаем).

В электрическом поле на частицу действует сила , под действием которой траектория движения частицы искривляется. Частица смещается от первоначального направления и попадает в точку D экрана. Ее полное смещение можно представить в виде суммы смещений:

, (77.1)

где – смещение при движении в электрическом поле; – смещение при движении за пределами электрического поля.

Смещение есть расстояние, пройденное частицей в направлении, перпендикулярном пластинам конденсатора, под действием поля с ускорением

Так как в этом направлении в момент влета частицы в конденсатор скорость отсутствует, то

где t – время движения заряда в поле конденсатора.

В направлении на частицу силы не действуют, поэтому . Тогда

Объединяя формулы (77.2) – (77.4), находим:

За пределами конденсатора электрического поля нет, силы на заряд не действуют. Поэтому движение частицы происходит прямолинейно в направлении вектора , составляющего угол с направлением вектора первоначальной скорости .

Из рисунка 77.1 следует: ; , где – скорость, которую приобретает частица в направлении, перпендикулярном пластинам конденсатора за время движения его в поле.

Так как , то, учитывая формулы (77.2) и (77.4), получаем:

Из соотношений (77.6) и (77.7) находим:

Подставив выражения (77.5) и (77.8) в формулу (77.1), для полного смещения частицы получим:

Если учесть, что , то формулу (77.9) можно записать в виде

Из выражения (77.10) видно, что смещение заряда в поперечном электрическом поле прямо пропорционально разности потенциалов, поданной на отклоняющие пластины, и зависит также от характеристик движущейся частицы (, , ) и параметров установки (, , ).

Движение электронов в поперечном электрическом поле лежит в основе действия электронно-лучевой трубки (рис. 77.2), основными частями которой являются катод 1, управляющий электрод 2, система ускоряющих анодов 3 и 4, вертикально отклоняющие пластины 5, горизонтально отклоняющие пластины 6, флуоресцирующий экран 7.

Для фокусировки пучка заряженных частиц используют электронные электростатические линзы. Они представляют собой металлические электроды определенной конфигурации, на которые подается напряжение. Форму электродов можно подобрать так, что электронный пучок будет "фокусироваться" в некоторой области поля подобно световым лучам после прохождения через собирающую линзу. На рисунке 77.3 приведена схема электронной электростатической линзы. Здесь 1 – по-догревный катод; 2 – управляющий электрод; 3 – первый анод; 4 – второй анод; 5 – сечение эквипотенциальных поверхностей электростатического поля плоскостью рисунка.

1. В данном вопросе мы ограничимся рассмотрением движения заряженной частицы в однородных постоянных полях.

В магнитном поле сила Лоренца будет иметь только одну магнитную составляющую

которая всегда перпендикулярна траектории движения и поэтому работы не совершает, а только искривляет траекторию, не изменяя величину скорости. Такого рода силы называются гироскопическими.

В общем случае скорость частицы составляет угол с вектором(рис. 3) и ее можно разложить на два вектора (параллельно и перпендикулярно вектору )

где , , а само движение частицы можно представить в виде наложения двух движений с этими скоростями.

Рассмотрим сначала движение частицы со скоростью , параллельной вектору магнитной индукции. В этом случае , и частица движется вдоль силовой линии магнитного поля.

Во втором движении со скоростью сила Лоренца не изменяется по величине и создает нормальное ускорение в плоскости, перпендикулярной вектору . Поэтому траектория такого движения пред-ставляет собой окружность радиуса r в этой плоскости. Условие движения по окружности, записанное на основе второго закона Ньютона,

позволяет найти радиус окружности и угловую скорость вращения частицы

которые называются циклотронным радиусом и циклотронной частотой.

Циклотронный радиус пропорционален импульсу частицы и обратно пропорционален величине ее заряда и магнитной индукции. Циклотронная частота обратно пропорциональна массе частицы и пропорциональна ее заряду и магнитной индукции.

Направления вращения частиц с положительным и отрицательным зарядом взаимно противоположны из-за различия в направлениях силы Лоренца (рис. 2). В векторной форме циклотронную частоту можно записать в виде формулы

Для положительно заряженной частицы направление угловой скорости противоположно направлению вектора , для отрицательно заряженной частицы – совпадает с вектором .

2. В общем случае, когда частица участвует во вращательном движении вокруг направления вектора и в поступательном параллельно силовой линии, результирующее движение частицы будет происходить по винтовой линии. Для положительно заряженных частиц винтовая линия соответствует левому винту, для отрицательно заряженных – правому (рис. 4). Если векторы и направлены противоположно друг другу, то наоборот.

Данное движение используется в системах, фокусирующих электронный пучок в электронно-лучевых трубках. Дело в том, что шаг винтовой линии, определяемый произведением и периода обращения ,

для электронов, вылетающих из электронной пушки под разными углами к оси пучка, не зависит от угла из-за его малости ().

Поэтому все электроны, вылетевшие из электронной пушки под небольшими, но разными углами соберутся в одной точке через период обращения. Шаг винтовой линии можно изменять, варьируя величину магнитной индукции, что позволяет осуществлять фокусировку электронного луча на экране электронно-лучевой трубки.

Выводы.

1) Сила, действующая на заряженную частицу со стороны магнитного поля, работы не совершает. Она вызывает вращательное движение частиц вокруг направления вектора магнитной индукции с угловой скоростью .

2) В общем случае заряженная частица движется по винтовой линии.

3. Магнитное поле двигающегося заряда

1. Пусть заряженная частица движется со скоростью относительно лабораторной системы отсчета K . В системе , которая движется вместе с частицей, магнитное поле отсутствует (), а электрическое поле описывается формулой

Это обычное электростатическое поле неподвижного точечного заряда.

В неподвижной системе отсчета , в соответствии с преобразованиями (5), (6), находим

Отсюда следует, что при медленных движениях заряженная частица создает в окружающем пространстве электрическое поле такое же, как неподвижная и магнитное с индукцией

При этом радиус-вектор проводится от заряда в точку наблюдения.

Проанализируем данное выражение. Величина вектора магнитной индукции

зависит обратно пропорционально квадрату расстояния от заряда до рассматриваемой точки поля, прямо пропорционально величине заряда и его скорости. Но пространственное распределение магнитной индукции вокруг заряда сложнее, чем для электрического поля.

В формулу магнитной индукции входит синус угла между направлениями скорости и радиус-вектора , проведенного от заряда в точку наблюдения (рис. 5).

Магнитная индукция обращается в нуль на линии, проходящей через заряд параллельно вектору скорости (), и максимальна в плоскости, проходящей через заряд перпендикулярно вектору ().

Направление вектора магнитной индукции перпендикулярно вектору скорости и радиус-вектору (рис. 5).

Если, сохраняя угол a и длину вектора, повернуть радиус-вектор вокруг вектора скорости, то его конец опишет окружность. В каждой точке этой окружности вектор будет направлен по касательной к ней. Следовательно, такая окружность будет являться линией вектора (силовой линией магнитного поля).

Опыт показывает, что для магнитного поля выполняется принцип суперпозиции полей

Магнитная индукция результирующего поля в некоторой точке равна векторной сумме магнитных индукций полей, создаваемых различными источниками в этой точке.

2. Рассмотрим теперь магнитное поле, создаваемое в произвольной точке бесконечно малым отрезком тонкого проводника длины , по которому идет ток силой I .

Величина называется элементом тока. Направление вектора совпадает с направлением тока. Так как сила тока по определению , где S является площадью поперечного сечения проводника, то элемент тока можно выразить через плотность тока , где является объемом выделенного участка проводника. Здесь учтено, что векторы и совпадают по направлению.

Все носители заряда, находящиеся в этом элементе тока, движутся упорядоченно со средней скоростью и создают в данной точке пространства одинаковую магнитную индукцию. Поэтому результирующую магнитную индукцию, создаваемую всеми носителями заряда в произвольной точке, можем получить, умножив число носителей в элементе тока , где n – концентрация носителей заряда в проводнике, на магнитную индукцию , создаваемую одним носителем в этой точке

Здесь плотность тока выражена через среднюю скорость упорядоченного движения носителей заряда. Радиус–вектор проводится от элемента тока в точку наблюдения.

Полученное выражение называется законом Био-Савара-Лапласа. Оно позволяет рассчитать магнитное поле любой системы проводников, используя принцип суперпозиции

Штрихованные переменные относятся к точке интегрирования.

Сравнение формул (8) и (9) показывает, что конфигурация и распределение в пространстве магнитных полей элемента тока и движущегося заряда идентичны (рис. 6). Величина вектора магнитной индукции, создаваемого элементом тока, пропорциональна величине элемента тока, синусу угла между направлением тока и направлением на точку наблюдения и обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника до точки наблюдения

Элемент тока создает максимальную магнитную индукцию в плоскости, перпендикулярной элементу тока, и не создает на прямой, проходящей через элемент тока, параллельно вектору . Линии вектора напряженности – суть окружности вокруг этой прямой.

Выводы.

1) Магнитное поле движущегося заряда является следствием движения заряженной частицы и ее электрического поля.

2) Магнитное поле элемента тока и движущегося заряда имеют одинаковое распределение силовой характеристики в пространстве. Это обусловлено тем, что электрический ток представляет собой упорядоченное движение заряженных частиц.

3) Элемент тока и движущийся заряд создают максимальную магнитную индукцию в плоскости, перпендикулярной направлению движения зарядов. Силовые линии в обеих случаях представляют собой окружности, перпендикулярные касательной к траектории движения. Магнитное поле не создается на прямой, касательной к траектории движения зарядов.

4) Магнитная индукция обратно пропорциональна квадрату расстояния от заряда до точки наблюдения. Это обусловлено распределением в пространстве электрического поля заряженной частицы и преобразованием его в магнитное поле при движении.